t-test
Zásadním omezením z-testu, je nutnost znát rozptyl testovaného souboru. V realitě rozptyl velmi často neznáme, a tak se musíme spokojit s jeho odhadem. V takovém případě musíme využít určitou "modifikaci" z-testu, která se nazývá t-test. Ten je používán ke stejnému účelu jako z-test, tedy k ověření hypotézy o střední hodnotě souboru.
Uvažujeme následující příklad: Máme zařízení, které vyrábí součástku určité délky. Zařízení má určitou chybovost, jejíž přesnou velikost neznáme. Zařízení bylo nastaveno pracovníkem a my chceme ověřit, že pracovník nastavil správnou délku součástky, tj. 190 mm. Pro ověření jsme vybrali a přeměřili náhodný soubor dvaceti součástek.
Soubor s daty i výpočty si můžete stáhnout zde.
Obecné principy testování hypotéz, které jsme si popsali v článku o z-testu, zůstávají v platnosti. Definujeme si tedy nulovou a alternativní hypotézu:
- Nulová hypotéza: Střední hodnota statistického souboru je 190 mm. (
) - Alternativní hypotéza: Střední hodnota statistického souboru je není 190 mm. (
.)
Stejně jako u z-testu můžeme u t-testu formulovat pravostrannou a levostrannou variantu.
Statistiku získáme ze vzorce
kde 
je průměr našeho vzorku, 
je teoretická (testovaná) střední hodnota, a 
je rozsah náhodného výběru. Proměnná 
je odhad rozptylu základního souboru a pro tento odhad využijeme výběrový rozptyl.
Naše statistika 
nemá tentokrát normované rozdělení, ale má takzvané Studentovo neboli t rozdělení. Toto rozdělení má jeden parametr, který značíme 
. V našem případě platí vztah 
t rozdělení má podobné vlastnosti jako normované normální: jeho střední hodnota je 0 a je symetrické kolem 0. Čím vyšší je hodnota parametru , tím více se distribuční funkce t rozdělení blíží normovanému normálnímu. Často se uvádí, že u t-testu můžeme pro 
použít normované normální rozdělení. Pokud však i pro tyto hodnoty použijeme t rozdělení, nejedná se o chybu.
Kvantilvou funkci t rozdělení s 
stupni volnosti budeme značit 
. Kritický obor testu určíme ze vzorce
kde 
značí hladinu významnosti testu.
Výpočet v Excelu
Nyní již víme vše, co potřebujeme, a můžeme se vrhnout na provedení testu v Excelu.
Náš testovací soubor máme uložený v buňkách A1 až A20. Test provedeme na 
, tuto hodnotu máme v buňce D6.
K provedení t-testu potřebujeme výběrovou směrodatnou odchylku souboru. Směrodatnou odchylku získáme vzorcem
=SMODCH.VÝBĚR.S(A1:A20)
Python alternativa:
import numpy as np
sample_std = np.std(sample, ddof=1)
Hodnotu si uložíme do buňky D4. Teoretickou střední hodnotu máme v buňce D10, průměr náhodného souboru v buňce D3. Nyní určíme kritický obor. Využijeme kvantilovou funkci Excelu pro t rozdělení - T.INV. Dolní hranici kritického oboru získáme vzorcem
=T.INV(D6/2;D2-1)
Python alternativa:
from scipy.stats import t
lower_critical = t.ppf(alpha / 2, df=n - 1)
a horní hranici vzorcem
=T.INV(1-D6/2;D2-1)
Python alternativa:
from scipy.stats import t
upper_critical = t.ppf(1 - alpha / 2, df=n - 1)
Důležité je, že funkce T.INV obsahuje v názvu tečku. Nepleťte si tuto funkci se starší funkcí TINV, která vrací jiné výsledky.
Hodnoty se liší pouze znaménkem, protože (jak už jsme uvedli) je t rozdělení symetrické kolem 0. Ze získaných hodnot můžeme kritický obor zapsat intervalem:
Nyní si určíme hodnotu statistiky (pomocí vzorce 
):
=(D3-D5)/D4*ODMOCNINA(D2)
Python alternativa:
import numpy as np
t_stat = (sample.mean() - mu0) / sample_std * np.sqrt(n)
Hodnota statistiky je -0,92 a výsledek máme v buňce D10. Protože statistika leží mimo kritický obor, nulovou hypotézu nezamítáme. Určeme si ještě p-hodnotu testu. K tomu využijeme distribuční funkci t rozdělení T.DIST:
=T.DIST(D10;D2-1;PRAVDA) * 2
Python alternativa:
from scipy.stats import t
p_value = 2 * min(t.cdf(t_stat, df=n - 1), t.sf(t_stat, df=n - 1))
V tomto případě určujeme p-hodnotu jako plochu pod hustotou statistiky směrem doleva a násobíme ji dvěma. Pokud bychom však měli hodnotu statistiky vyšší než 0, je třeba určovat p-hodnotu jako plochu od statistiky směrem doprava. K tomu můžeme využít funkci T.DIST.RT, která určuje kvantily t rozdělení zprava. Správná hodnota bude vždy ta menší.